Формы записи высказываний. Алгоритмические способы решения логических задач

Алгоритм решения:

Кодирование: обозначение искомых с помощью булевых переменных (принимающих значения 0, 1) и описание содержания этих переменных.

Запись условия в виде системы логических уравнений, в правых частях которых — единицы.

Замечание. Если правая часть уравнения — нуль, то отрицанием левой части она приводится к единице.

Образование конъюнкции левых частей системы и приравнивание ее единице. Полученное уравнение называется характеристическим. Оно равносильно исходной системе уравнений: каждое решение системы является решением характеристического уравнения, и наоборот.

Обоснование. Пусть некоторый порядок значений переменных является решением системы уравнений. При подстановке в характеристическое уравнение он обращает каждый сомножитель конъюнкции в единицу, следовательно, и конъюнкция равна единице.

Верно и обратное — каждое решение характеристического уравнения (обращающее конъюнкцию в единицу) обращает в единицу все сомножители конъюнкции, следовательно, удовлетворяет системе уравнений.

Приведение левой части характеристического уравнения к ДНФ (в частности, к СДНФ).

Замечание. При раскрытии скобок в левой части характеристического уравнения по второму распределительному закону значительные упрощения получаются за счет использования законов противоречия, исключенного третьего, исключения повторений (сомножителей, слагаемых), а также поглощения.

Приравнивание каждого слагаемого СДНФ, независимо от других, единице и извлечение из уравнений (левые части которых — конъюнкции переменных или их отрицаний) значений переменных. Каждый их набор является решением задачи.

Обоснование. Каждый набор найденных значений переменных обращает в единицу хотя бы одно слагаемое дизъюнкции, т. е. является решением характеристического уравнения.

Замечание. Если после упрощений в ДНФ осталось одно слагаемое, задача имеет единственное решение, если более одного — несколько решений. В случае, когда в левой части характеристического уравнения все слагаемые уничтожаются, задача не имеет решения (данные не совместны).

Применим этот алгоритм к решению задачи.

Задача. (Кто смотрит телевизор?)

Семья состоит из пяти человек: Алексей (А), Вера (В), Глеб (Г), Даша (Д), Евгений (Е).

Если телевизор смотрит А, то смотрит и В;

смотрят либо Д, либо Е, либо оба вместе;

смотрят либо В, либо Г, но не вместе;

Д и Г либо смотрят вместе, либо вовсе не смотрят;

если смотрит Е, то смотрят А и Д.

Кто смотрит телевизор?

Решение:

Записываем в виде системы логических уравнений:

Преобразуем в характеристическое уравнение:

Приведем левую часть характеристического уравнения к СДНФ:

Получили одно слагаемое, следовательно, задача имеет единственное решение. Приравнивание каждого слагаемого СДНФ единице и извлечение из уравнения значение переменных.

Таким образом, получили ответ: телевизор смотрят Глеб и Даша.

Статьи по теме:

Технология изображения пейзажа в зависимости от времени года
Каждое время года обладает в природе своей собственной игрой красок. Возьмем, например, синеву неба. Весной она кажется ясной и прохладной, в жаркие летние дни покрыта легкой дымкой, а ясными осенними днями сияет почти теплой голубизной. Для весенней листвы деревьев характерен свежий сияющий зелены ...

Метод рассказывания
На протяжении второй половины XX в. дети были практически лишены тех традиционных способов общения со взрослыми, которые существовали веками: исполнения колыбельных песен, слушания сказок, бывальщин и быличек, участия в земледельческих праздниках, хороводах, ярмарках. Меткое слово, смысл которого р ...

Характеристика психолого-педагогических условий формирования экологических представлений у детей старшего дошкольного возраста на основе моделирования
Главнейшее педагогическое условие успешного формирования экологических представлений у детей – естественнонаучная осведомленность воспитателей, развитие их собственного экологического сознания и готовность к содержательному увлеченному общению с детьми в природе, в процессе их знакомства с природны ...