К вопросу о формировании универсальных учебных действий в процессе преподавания элективного курса по математике

В наше время роль комбинаторики существенно изменилась. Если раньше комбинаторика часто воспринималась только как занимательная часть математической науки, то после появления ЭВМ и связанного с этим расцветом конечной математики комбинаторные методы стали значительно более востребованными, они применяются сегодня в теории случайных процессов, в вычислительной математике, в планировании экспериментов. Теория графов с практической точки зрения также один из наиболее востребованных сегодня разделов дискретной математики. Она используется при проектировании интегральных схем и систем управления, исследовании автоматов и логических цепей, при системном анализе, автоматизированном управлении производством, при разработке вычислительных и информационных сетей. Обширное применение теория графов находит также в вычислительной технике и кибернетике в теоретическом программировании, при проектировании ЭВМ и баз данных. Графы также успешно применяются для решения задач планирования выбора оптимальных маршрутов, решения некоторых проблем, имеющих место в биологии и психологии.

Отметим, что избранные разделы дискретной математики являются не только востребованными в науке и практике, но и наиболее доступными для изучения старшеклассниками. Кроме того, материал этих разделов достаточно удачен для формирования универсальных учебных действий, особенно действия моделирования.

Весь отобранный материал по комбинаторике и основам теории графов разделен на 15 тем, перечень вопросов, изучаемых в рамках каждой из которых, приведен ниже.

Тема 1. Множества, кортежи, отображения. Введение в комбинаторику. Множество. Кортеж. Отображение.

Тема 2. Основные законы комбинаторики. Правила суммы и произведения.

Тема 3. Основные комбинаторные соединения. Факториал. Размещения, сочетания, перестановки с повторениями и без повторений. Формулы для числа основных комбинаторных соединений.

Тема 4. Применение элементов комбинаторики к нахождению вероятностей. Классическое определение вероятности. Вероятностные задачи, в которых применяются элементы комбинаторики.

Тема 5. Сочетания и биномиальные коэффициенты. Треугольник Паскаля. Бином Ньютона.

Тема 6. Рекуррентные соотношения. Рекуррентное соотношение. Примеры рекуррентных соотношений. Арифметическая и геометрическая прогрессии как рекуррентные соотношения. Числа Фибоначчи.

Тема 7. Основные понятия теории графов. Граф. Смежные вершины. Дополнение к графу. Мультиграф. Псевдограф. Степень вершины. Висячие и изолированные вершины. Лемма о рукопожатиях. Теоремы о вершинах графа. Изоморфные графы.

Тема 8. Полный граф и нуль-граф. Путь, цикл. Связный граф. Нуль-граф. Полный граф. Теорема о числе ребер полного графа на п вершинах. Маршрут. Путь. Связанные вершины. Связный граф. Теорема о связности графа либо его дополнения.

Тема 9. Деревья. Регулярные графы. Дерево. Каркас графа. Лес. Теорема о числе вершин и ребер дерева. Регулярный граф. Теорема о существовании к-регулярного графа на п вершинах.

Тема 10. Двудольные графы. Двудольный, полный двудольный граф. Теоремы о вершинах и ребрах двудольного графа. Теорема Кенига.

Тема 11. Ориентированные графы. Ориентированный, смешанный, полный ориентированный граф. Турнир. Полустепени захода и исхода вершины. Теорема о числе ребер орграфа. Корневое дерево. Теоремы о существовании ориентированного цикла и пути в орграфе.

Тема 12. Способы представления графов. Необходимость различных способов представления графов. Нагруженный (взвешенный) граф. Матрицы смежности и расстояний. Применение матричных способов представления графов в программировании.

Статьи по теме:

Основные требования к уроку
Обучение – длительный процесс. Он складывается из отдельных уроков. В первоначальном своем смысле слово «урок» означало трудовое задание, которое требуется выполнить за определенный срок. Школьный урок тоже можно рассматривать как трудовое (учебное) задание классу, рассчитанное на определенный срок ...

Особенности преподавания школьного курса Обществоведения в переходную эпоху
В 1990-е гг. в отличие от предыдущих этапов развития отечественной школы, когда существовали лишь отдельные обществоведческие курсы, началось становление системы школьного обществоведческого образования. В соответствии с концепцией перестройки преподавания общественных дисциплин в старших классах с ...

Реформа образования в Казахстане
Реформы, проводящиеся в стране в сфере образования, предполагают изменение системы обучения в средней школе, изменение подготовки и обучения студентов колледжей и высших учебных заведений в контексте динамики непрерывно изменяющихся условий в современном мире. Образование должно: Ориентироваться на ...